有限数学示例

$y = \frac{9}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{9}{x^{2} - 1} = y$ 。

$\frac{9}{x^{2} - 1} = y$

解题步骤 2

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{9}{x^{2} - 1^{2}} = y$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} = y$

解题步骤 3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$(x + 1) (x - 1), 1$

解题步骤 3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$(x + 1) (x - 1)$

解题步骤 4

将 $\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} = y$ 中的每一项乘以 $(x + 1) (x - 1)$ 以消去分数。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} = y$ 中的每一项乘以 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = y ((x + 1) (x - 1))$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $(x + 1) (x - 1)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = y ((x + 1) (x - 1))$

解题步骤 4.2.1.2

重写表达式。

$9 = y ((x + 1) (x - 1))$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

运用分配律。

$9 = y (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

解题步骤 4.3.1.2

运用分配律。

$9 = y (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

解题步骤 4.3.1.3

运用分配律。

$9 = y (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 4.3.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$9 = y (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 4.3.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$9 = y (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$9 = y (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 4.3.2.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$9 = y (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 4.3.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$9 = y (x^{2} - x + x - 1)$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$9 = y (x^{2} + 0 - 1)$

解题步骤 4.3.2.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$9 = y (x^{2} - 1)$

解题步骤 4.3.3

通过相乘进行化简。

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解题步骤 4.3.3.1

运用分配律。

$9 = y x^{2} + y \cdot - 1$

解题步骤 4.3.3.2

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$9 = y x^{2} - 1 \cdot y$

解题步骤 4.3.4

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$9 = y x^{2} - y$

解题步骤 5

求解方程。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $y x^{2} - y = 9$ 。

$y x^{2} - y = 9$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $y$ 。

$y x^{2} = 9 + y$

解题步骤 5.3

将 $y x^{2} = 9 + y$ 中的每一项除以 $y$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $y x^{2} = 9 + y$ 中的每一项都除以 $y$ 。

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去公因数。

$x^{2} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

解题步骤 5.3.3.1.2

重写表达式。

$x^{2} = \frac{9}{y} + 1$

解题步骤 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{y} + 1}$

解题步骤 5.5

化简 $\pm \sqrt{\frac{9}{y} + 1}$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{y} + \frac{y}{y}}$

解题步骤 5.5.2

在公分母上合并分子。

$x = \pm \sqrt{\frac{9 + y}{y}}$

解题步骤 5.5.3

将 $\sqrt{\frac{9 + y}{y}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$

解题步骤 5.5.4

将 $\frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

解题步骤 5.5.5

合并和化简分母。

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解题步骤 5.5.5.1

将 $\frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

解题步骤 5.5.5.2

对 $\sqrt{y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

解题步骤 5.5.5.3

对 $\sqrt{y}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

解题步骤 5.5.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.5.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

解题步骤 5.5.5.6

将 ${\sqrt{y}}^{2}$ 重写为 $y$ 。

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解题步骤 5.5.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.5.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.5.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.5.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.5.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{1}}$

解题步骤 5.5.5.6.5

化简。

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y}$

解题步骤 5.5.6

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{\sqrt{(9 + y) y}}{y}$

解题步骤 5.5.7

将 $\pm \frac{\sqrt{(9 + y) y}}{y}$ 中的因式重新排序。

$x = \pm \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

解题步骤 5.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

解题步骤 5.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

解题步骤 5.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

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